Función ESTIMACION.LINEAL

Este artículo describe la sintaxis de la fórmula y el uso de la función ESTIMACIÓN.LINEAL (función: fórmula ya escrita que toma un valor o valores, realiza una operación y devuelve un valor o valores. Utilice funciones para simplificar y acortar fórmulas en una hoja de cálculo, especialmente aquellas que llevan a cabo cálculos prolongados o complejos.) en Microsoft Office Excel. Busque vínculos a más información acerca de cómo crear gráficos y realizar un análisis de regresión en la sección Vea también.

Descripción

La función ESTIMACIÓN.LINEAL calcula las estadísticas de una línea utilizando el método de los "mínimos cuadrados" para calcular la línea recta que mejor se ajuste a los datos y, a continuación, devuelve una matriz que describe la línea. También puede combinar ESTIMACION.LINEAL con otras funciones para calcular las estadísticas de otros tipos de modelos que son lineales en los parámetros desconocidos, incluidas series polinómicas, logarítmicas, exponenciales y de potencias. Debido a que esta función devuelve una matriz de valores, debe ser especificada como una fórmula de matrices. Después de los ejemplos de este artículo, se incluyen las instrucciones correspondientes.

La ecuación para la línea es:

y = mx + b

–o–

y = m1x1 + m2x2 + ... + b (si hay varios rangos de valores X)

donde los valores y dependientes son función de los valores x independientes. Los valores m son coeficientes que corresponden a cada valor x, y b es un valor constante. Observe que y, x y m pueden ser vectores. La matriz que devuelve la función ESTIMACION.LINEAL es {mn,mn-1,...,m1,b}. ESTIMACION.LINEAL también puede devolver estadísticas de regresión adicionales.

Sintaxis

LINEST(known_y's, [known_x's], [const], [stats])

La sintaxis de la función ESTIMACIÓN.LINEAL tiene los siguientes argumentos (argumento: valor que proporciona información a una acción, un evento, un método, una propiedad, una función o un procedimiento.):

  • Conocido_y    Obligatorio. El conjunto de valores y que se conocen en la relación y = mx+b.
    • Si el rango de conocido_y ocupa una sola columna, cada columna de conocido_x se interpreta como una variable separada.
    • Si el rango de conocido_y ocupa una sola fila, cada fila de conocido_x se interpreta como una variable separada.
  • Conocido_x    Opcional. Un conjunto de valores x que pueden conocerse en la relación y = mx+b.
    • El rango de conocido_x puede incluir uno o varios conjuntos de variables. Si se usa una sola variable, conocido_y y conocido_x pueden ser rangos con cualquier forma, siempre y cuando sus dimensiones sean iguales. Si se usa más de una variable, conocido_y tiene que ser un vector (es decir, un rango compuesto por una fila o por una columna).
    • Si se omite conocido_x, se supone que es la matriz {1;2;3;...} que tiene el mismo tamaño que conocido_y.
  • constante    Opcional. Un valor lógico que especifica si se ha de hacer que la constante b sea igual a 0.
    • Si el argumento constante es VERDADERO o se omite, b se calcula normalmente.
    • Si constante es FALSO, b se establece como igual a 0 y los valores m se ajustan para adaptarse a y = mx.
  • estadística    Opcional. Un valor lógico que especifica si se deben devolver estadísticas de regresión adicionales.
    • Si estadística es VERDADERO, ESTIMACION.LINEAL devuelve las estadísticas de regresión adicionales, de forma que la matriz devuelta es {mn,mn-1,...,m1,b;sen,sen-1,...,se1,seb;r2,sey;F,df;ssreg,ssresid}.
    • Si estadística es FALSO o se omite, ESTIMACION.LINEAL sólo devuelve los coeficientes m y la constante b.

Las estadísticas de regresión adicional son las que se indican a continuación.

Estadística Descripción
se1,se2,...,sen Los valores de error estándar para los coeficientes m1,m2,...,mn.
seb El valor de error estándar para la constante b (seb = #N/A cuando constante es FALSO).
r2 El coeficiente de determinación. Compara los valores y calculados y reales, y los rangos con valor de 0 a 1. Si es 1, hay una correlación perfecta en la muestra , es decir, no hay diferencia entre el valor y calculado y el valor y real. En el otro extremo, si el coeficiente de determinación es 0, la ecuación de regresión no es útil para predecir un valor y. Para obtener información sobre el cálculo de r2, vea la sección de "Observaciones" más adelante en este tema.
sey El error estándar para el cálculo y.
F La estadística F o valor F observado. Utilice la estadística F para determinar si la relación observada entre las variables dependientes e independientes se produce por azar.
df Grados de libertad. Utilice los grados de libertad para encontrar valores F críticos en una tabla estadística. Compare los valores que encuentre en la tabla con la estadística F devuelta por ESTIMACION.LINEAL para determinar un nivel de confianza para el modelo. Para obtener información sobre el cálculo de df, vea la sección "Observaciones" más adelante en este tema. El ejemplo 4 muestra el uso de F y df.
ssreg La suma de regresión de los cuadrados.
ssresid La suma residual de los cuadrados. Para obtener información sobre el cálculo de ssreg y ssresid, vea la sección "Observaciones" más adelante en este tema.

La ilustración siguiente muestra el orden en que se devuelven las estadísticas de regresión adicionales.

Hoja de cálculo

Observaciones

  • Puede describir cualquier línea recta con la pendiente y la intercepción Y:

Pendiente (m):
Para hallar la pendiente de una línea, frecuentemente indicada por m, tome dos puntos de la línea, (x1,y1) y (x2,y2); la pendiente es igual a (y2 - y1)/(x2 - x1).

Intercepción Y (b):
La intercepción Y de una línea, frecuentemente indicada por b, es el valor de Y en el punto en que la línea cruza el eje X.

La ecuación de una línea recta es y = mx + b. Cuando conozca los valores de m y b, podrá calcular cualquier punto de la línea insertando el valor Y o el valor X en esa ecuación. También puede utilizar la función TENDENCIA.

  • Si sólo tiene una variable X independiente, puede obtener los valores de la pendiente y de la intercepción Y directamente utilizando las fórmulas siguientes:

Pendiente:
=INDICE(ESTIMACION.LINEAL(conocido_y;conocido_x);1)

Intercepción Y:
=INDICE(ESTIMACION.LINEAL(conocido_y;conocido_x);2)

  • La exactitud de la línea calculada por la función ESTIMACION.LINEAL depende del grado de dispersión de los datos. Cuanto más lineales sean los datos, más exacto será el modelo de ESTIMACION.LINEAL. ESTIMACION.LINEAL utiliza el método de los mínimos cuadrados para determinar el mejor ajuste para los datos. Si sólo tiene una variable X independiente, los cálculos para m y b se basan en las fórmulas siguientes:

Ecuación

Ecuación

donde x e y son medias de muestras, es decir, x = PROMEDIO(conocido_x) e y = PROMEDIO(conocido_y).

  • Las funciones de ajuste de línea y de curva ESTIMACION.LINEAL y ESTIMACION.LOGARITMICA pueden calcular la línea recta o la curva exponencial que mejor se ajuste a los datos. Sin embargo, debe decidir cuál de los dos resultados se ajusta mejor a sus datos. Puede calcular TENDENCIA(conocido_y;conocido_x) para una línea recta o CRECIMIENTO(conocido_y;conocido_x) para una curva exponencial. Estas funciones, sin el argumento nuevo_x, devuelven una matriz de valores Y pronosticados en la línea o curva en los puntos de datos reales. Después, puede comparar los valores pronosticados con los valores reales. Puede crear un gráfico con ambos para realizar una comparación visual.
  • En el análisis de regresión, Excel calcula para cada punto la diferencia al cuadrado entre el valor Y calculado para ese punto y su valor Y real. La suma de estas diferencias al cuadrado se denomina suma de los cuadrados residual, ssresid. Excel calcula a continuación la suma total de los cuadrados, sstotal. Cuando el argumento constante = VERDADERO, o se omite, la suma total de los cuadrados es la suma de las diferencias al cuadrado entre los valores Y reales y la media de los mismos. Cuando el argumento constante = FALSO, la suma total de los cuadrados es la suma de los cuadrados de los valores Y reales (sin restar el valor Y medio de cada valor Y individual). La suma de regresión de los cuadrados, ssreg, puede hallarse a partir de ssreg = sstotal - ssresid. Cuanto menor sea la suma residual de los cuadrados, en comparación con la suma total de los cuadrados, mayor será el valor del coeficiente de determinación, r2, que es un indicador de hasta qué punto la ecuación resultante del análisis de regresión explica la relación entre las variables. El valor de r2 es igual a ssreg/sstotal.
  • En algunos casos, una o varias de las columnas X (supongamos que Y y X están en columnas) pueden no tener valor predictivo adicional en presencia de las otras columnas X. En otras palabras, eliminar una o varias columnas X puede producir valores Y pronosticados que son igualmente exactos. En ese caso, estas columnas X redundantes deberían omitirse del modelo de regresión. Este fenómeno se denomina “colinealidad” porque cualquier columna X redundante se puede expresar como una suma de múltiplos de las columnas X no redundantes. ESTIMACION.LINEAL comprueba la colinealidad y quita cualquier columna X redundante del modelo de regresión cuando las identifica. Las columnas X eliminadas pueden reconocerse en el resultado de ESTIMACION.LINEAL como aquéllas con coeficientes 0 así como con valores se 0. Si una o varias columnas se quitan por redundantes, entonces df se ve afectado porque df depende del número de columnas X utilizadas con fines predictivos. Para obtener más información sobre el cálculo de df, vea el ejemplo 4. Si df se modifica porque se han quitado las columnas X redundantes, los valores de sey y F también se verán afectados. La colinealidad debería ser relativamente insólita en la práctica. No obstante, un caso en el que es más probable que se produzca es cuando algunas columnas X contienen sólo valores 0 y 1 como indicadores de si un sujeto de un experimento pertenece o no a un grupo en concreto. Si constante = VERDADERO o se omite, ESTIMACION.LINEAL inserta una columna X adicional de todo unos (1) para dar forma a la intercepción. Si tiene una columna con un 1 para cada sujeto que sea varón, o 0 si no lo es, y tiene también una columna con un 1 para cada sujeto que sea mujer, o 0 si no lo es, esta última columna es redundante porque las entradas de la misma se pueden obtener de restar la entrada de la columna "indicador de varón" de la entrada de la columna adicional de todo unos (1) agregada por ESTIMACION.LINEAL.
  • El valor de df se calcula de la siguiente manera cuando no se quita ninguna columna X del modelo debido a la colinealidad: si hay k columnas de conocido_x y constante = VERDADERO u omitida, entonces df = n – k – 1. Si constante = FALSO, entonces df = n - k. En ambos casos, cada columna X quitada debido a la colinealidad aumenta df en 1.
  • Las fórmulas que devuelven matrices deben especificarse como fórmulas de matriz.
  • Cuando especifique como argumento una constante matricial como conocido_x, utilice comas para separar los valores contenidos en una misma fila y puntos y comas para separar las filas. Los caracteres separadores pueden diferir dependiendo de la configuración regional que se haya establecido en Configuración regional y de idioma en el panel de control.
  • Observe que los valores Y pronosticados por la ecuación de regresión pueden no ser válidos si quedan fuera del rango de los valores Y empleados para determinar la ecuación.
  • El algoritmo subyacente utilizado en la función ESTIMACION.LINEAL es diferente del algoritmo subyacente utilizado en las funciones PENDIENTE e INTERSECCION.EJE. La diferencia entre estos algoritmos puede producir resultados distintos cuando los datos son indeterminados y colineales. Por ejemplo, si los puntos de datos del argumento conocido_y son 0 y los puntos de datos del argumento conocido_x son 1:
    • ESTIMACION.LINEAL devuelve un valor 0. El algoritmo de la función ESTIMACION.LINEAL está diseñado para devolver resultados razonables para los datos colineales y, en este caso, se puede encontrar al menos una respuesta.
    • PENDIENTE e INTERSECCION.EJE devuelven un error #¡DIV/0!. El algoritmo de PENDIENTE e INTERSECCION.EJE está diseñado para buscar sólo una respuesta, y en este caso puede haber más de una respuesta.
  • Además de utilizar ESTIMACION.LOGARITMICA para calcular estadísticas para otros tipos de regresión, puede utilizar ESTIMACION.LINEAL para calcular un rango de tipos de regresión diferentes escribiendo funciones de las variables x e y como series x e y para ESTIMACION.LINEAL. Por ejemplo, la fórmula siguiente:

=ESTIMACION.LINEAL(valores y; valores x^COLUMNA($A:$C))

funciona si se dispone de una única columna de valores Y y una única columna de valores X para calcular la aproximación cúbica (polinómica de orden 3) de esta forma:

y = m1*x + m2*x^2 + m3*x^3 + b

Puede ajustar esta fórmula para calcular otros tipos de regresión, pero en algunos casos, es necesario ajustar los valores de salida y otras estadísticas.

Ejemplo 1

Pendiente e intersección de eje Y

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Después de copiar el ejemplo en una hoja de cálculo en blanco, puede adaptarlo a sus necesidades.


 
1
2
3
4
5
6
7
A B C
Conocido y Conocido x
1 0
9 4
5 2
7 3
Fórmula Fórmula Resultado
=ESTIMACION.LINEAL(A2:A5;B2:B5;;FALSO) A7=2, B7=1

 Importante   La fórmula del ejemplo debe especificarse como fórmula de matriz. Después de copiar el ejemplo en una hoja de cálculo en blanco, seleccione el rango A7:B7 comenzando por la celda de la fórmula. Presione F2 y, a continuación, CTRL+MAYÚS+ENTRAR. Si la fórmula no se especifica como fórmula de matriz, el resultado único es 2.

Cuando se escribe como una matriz, se devuelve la pendiente (2) y la intercepción Y (1).

Ejemplo 2

Regresión lineal simple

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1
2
3
4
5
6
7
8

9
A B C
Mes Ventas
1 3100
2 4500
3 4400
4 5400
5 7500
6 8100
Fórmula Descripción Resultado
=SUMA(ESTIMACION.LINEAL(B2:B7; A2:A7)*{9,1}) Calcular las ventas del noveno mes 11000

En general, SUMA({m,b}*{x,1}) es igual a mx + b, el valor Y calculado para un valor X dado. También puede utilizar la función TENDENCIA.

Ejemplo 3

Regresión lineal múltiple

Suponga que un programador comercial está pensando en adquirir un grupo de pequeños edificios de oficinas en un distrito comercial conocido.

El programador puede utilizar el análisis de regresión lineal múltiple para calcular el valor de un edificio de oficinas en un área determinada basándose en las variables siguientes.

Variable Indica
y Valor tasado del edificio de oficinas
x1 Superficie en metros cuadrados
x2 Número de oficinas
x3 Número de entradas
x4 Antigüedad del edificio en años

Este ejemplo supone que existe una relación de línea recta entre cada variable independiente (x1, x2, x3, y x4) y la variable dependiente (y), el valor de los edificios de oficinas en esa área.

El programador elige al azar una muestra de 11 edificios de oficinas de 1.500 edificios posibles y obtiene los datos siguientes. "Media entrada" significa una entrada sólo para entregas.

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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

14
A B C D E
Superficie (x1) Oficinas (x2) Entradas (x3) Antigüedad (x4) Valor tasado (y)
2310 2 2 20 142.000
2333 2 2 12 144.000
2356 3 1,5 33 151.000
2379 3 2 43 150.000
2402 2 3 53 139.000
2425 4 2 23 169.000
2448 2 1,5 99 126.000
2471 2 2 34 142.900
2494 3 3 23 163.000
2517 4 4 55 169.000
2540 2 3 22 149.000
Fórmula
=ESTIMACION.LINEAL(E2:E12;A2:D12;VERDADERO;VERDADERO)

 Importante   La fórmula del ejemplo debe especificarse como fórmula de matriz. Después de copiar el ejemplo en una hoja de cálculo en blanco, seleccione el rango A14:E18 a partir de la celda de fórmula. Presione F2 y, a continuación, CTRL+MAYÚS+ENTRAR. Si la fórmula no se especifica como fórmula de matriz, el resultado único es -234,2371645.

Cuando se especifica como una matriz, se devuelven las siguientes estadísticas de regresión. Utilice esta clave para identificar las estadísticas deseadas.

Una clave de la estadística de regresión

Ahora puede obtenerse la ecuación de regresión múltiple, y = m1*x1 + m2*x2 + m3*x3 + m4*x4 + b, utilizando los valores de la fila 14:

y = 27,64*x1 + 12.530*x2 + 2.553*x3 - 234,24*x4 + 52.318

Ahora el programador puede calcular el valor tasado de un edificio de oficinas en la misma zona con 2.500 metros cuadrados, tres oficinas, dos entradas y una antigüedad de 25 años, utilizando la ecuación siguiente:

y = 27,64*2500 + 12530*3 + 2553*2-234,24*25 + 52318 = 158.261 $

O bien, puede copiar la tabla siguiente a la celda A21 de la hoja de cálculo que creó para este ejemplo.

Superficie (x1) Oficinas (x2) Entradas (x3) Antigüedad (x4) Valor tasado (y)
2500 3 2 25 =D14*A22 + C14*B22 + B14*C22 + A14*D22 + E14

También puede utilizar la función TENDENCIA para calcular este valor.

Ejemplo 4

Usar las estadísticas F y r2

En el ejemplo anterior, el coeficiente de determinación, o r2, es 0,99675 (vea la celda A17 en el resultado de ESTIMACION.LINEAL), que indicaría una relación estrecha entre las variables independientes y el precio de venta. Puede utilizar la estadística F para determinar si estos resultados, con este valor r2 tan alto, se produjeron por azar.

Suponga por un momento que en realidad no existe relación entre las variables, pero que ha extraído una muestra peculiar de 11 edificios de oficinas que hace que el análisis estadístico demuestre una relación marcada. El término "alfa" se utiliza para la probabilidad de llegar a la conclusión errónea de que existe una relación.

Los valores F y df del resultado de la función ESTIMACION.LINEAL se pueden utilizar para determinar la probabilidad de que se produzca por azar un valor F más elevado. F se puede comparar con los valores críticos de las tablas de distribución F publicadas o se puede utilizar la función DISTR.F de Excel para calcular la probabilidad de que se produzca por azar un valor F mayor. La distribución F apropiada tiene los grados de libertad v1 y v2. Si n es el número de puntos de datos y la constante = VERDADERO o se omite, entonces v1 = n – df – 1 y v2 = df. (Si la constante = FALSO, entonces v1 = n – df y v2 = df). La función DISTR.F ( con la sintaxis DISTR.F(F,v1,v2) ) devolverá la probabilidad de que se produzca por azar un valor F superior. En este ejemplo, df = 6 (celda B18) y F = 459,753674 (celda A18).

Suponiendo un valor alfa de 0,05, v1 = 11 – 6 – 1 = 4 y v2 = 6, el valor crítico de F es 4,53. Puesto que F = 459,753674 es mucho más elevado que 4,53, es extremadamente improbable que un valor F tan elevado se produzca por azar. (Con Alfa = 0,05, la hipótesis de que no hay relación entre conocido_y y conocido_x hay que rechazarla cuando F sobrepasa el nivel crítico, 4,53). Puede usar la función DISTR.F de Excel para obtener la probabilidad de que un valor F tan elevado se produzca por azar. Por ejemplo, DISTR.F(459,753674; 4; 6) = 1,37E-7, una probabilidad sumamente pequeña. Se puede concluir, bien buscando el nivel crítico de F en una tabla, bien utilizando la función DISTR.F, que la ecuación de regresión es útil para predecir el valor tasado de los edificios de oficinas de esta área. Recuerde que es vital utilizar los valores correctos de v1 y v2 calculados en el párrafo anterior.

Ejemplo 5

Calcular la estadística t

Otra prueba hipotética determinará si cada coeficiente de la pendiente es útil para calcular el valor tasado de un edificio de oficinas del ejemplo 3. Por ejemplo, para probar si el coeficiente de antigüedad es significativo estadísticamente, divida -234,24 (coeficiente de la pendiente de antigüedad) por 13,268 (el error estándar calculado de los coeficientes de antigüedad en la celda A15). El siguiente es el valor t observado:

t = m4 ÷ se4 = -234,24 ÷ 13,268 = -17,7

Si el valor absoluto de t es suficientemente alto, puede deducirse que el coeficiente de la pendiente es útil para calcular el valor tasado del edificio de oficinas del ejemplo 3. La siguiente tabla muestra los valores absolutos de los 4 valores t observados.

Si consulta una tabla de un manual de estadística, observará que el valor t crítico, de dos colas, con 6 grados de libertad y alfa = 0,05 es 2,447. Este valor crítico puede encontrarse también utilizando la función DISTR.T.INV de Excel. DISTR.T.INV(0,05;6) = 2,447. Puesto que el valor absoluto de t, 17,7, es superior a 2,447, la antigüedad es una variable importante para calcular el valor tasado de un edificio de oficinas. El significado estadístico de cada una de las demás variables independientes puede probarse de forma similar. Los siguientes son los valores t observados para cada una de las variables independientes.

Variable valor t observado
Superficie 5,1
Número de oficinas 31,3
Número de entradas 4,8
Edad 17,7

Todos estos valores tienen un valor absoluto superior a 2,447; por tanto, todas las variables utilizadas en la ecuación de regresión son útiles para predecir el valor tasado de los edificios de oficinas de esta área.

 
 
Corresponde a:
Excel 2007